贝塞尔曲线

一、原理：

贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre
Bézier ）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。贝塞尔曲线最初由 Paul
de Casteljau 于1959年运用 de
Casteljau 算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。

线性贝塞尔曲线

给定点 P ₀ 、P ₁ ，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出：

$mathbf{B}(t)=mathbf{P}_0 + (mathbf{P}_1-mathbf{P}_0)t=(1-t)mathbf{P}_0 + tmathbf{P}_1 mbox{ , } t in [0,1]$

且其等同于线性插值。

二次方贝塞尔曲线的路径由给定点 P ₀ 、P ₁ 、P ₂ 的函数 B (t ) 追踪：

$mathbf{B}(t) = (1 - t)^{2}mathbf{P}_0 + 2t(1 - t)mathbf{P}_1 + t^{2}mathbf{P}_2 mbox{ , } t in [0,1]$ 。

TrueType 字型就运用了以贝塞尔样条组成的二次贝塞尔曲线。

P ₀ 、P ₁ 、P ₂ 、P ₃ 四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于 P₀ 走向 P ₁ ，并从 P ₂ 的方向来到 P ₃ 。一般不会经过 P ₁ 或 P ₂ ；这两个点只是在那里提供方向资讯。 P ₀ 和 P ₁ 之间的间距，决定了曲线在转而趋进 P ₃ 之前，走向 P ₂ 方向的“长度有多长”。

曲线的参数形式为：

$mathbf{B}(t)=mathbf{P}_0(1-t)^3+3mathbf{P}_1t(1-t)^2+3mathbf{P}_2t^2(1-t)+mathbf{P}_3t^3 mbox{ , } t in [0,1]$ 。

现代的成象系统，如 PostScript 、Asymptote 和 Metafont ，运用了以贝塞尔样条组成的三次贝塞尔曲线，用来描绘曲线轮廓。

一般化

P ₀ 、P ₁ 、…、P _n ，其贝塞尔曲线即

$mathbf{B}(t)=sum_{i=0}^n {nchoose i}mathbf{P}_i(1-t)^{n-i}t^i =mathbf{P}_0(1-t)^n+{nchoose 1}mathbf{P}_1(1-t)^{n-1}t+cdots+mathbf{P}_nt^n mbox{ , } t in [0,1]$ 。

例如：

$mathbf{B}(t)=mathbf{P}_0(1-t)^5+5mathbf{P}_1t(1-t)^4+10mathbf{P}_2t^2(1-t)^3+10mathbf{P}_3t^3(1-t)^2+5mathbf{P}_4t^4(1-t)+mathbf{P}_5t^5 mbox{ , } t in [0,1]$ 。

如上公式可如下递归表达：用 $mathbf{B}_{mathbf{P}_0mathbf{P}_1ldotsmathbf{P}_n}$ 表示由点 P ₀ 、P ₁ 、…、P _n 所决定的贝塞尔曲线。则

$mathbf{B}(t) = mathbf{B}_{mathbf{P}_0mathbf{P}_1ldotsmathbf{P}_n}(t) = (1-t)mathbf{B}_{mathbf{P}_0mathbf{P}_1ldotsmathbf{P}_{n-1}}(t) + tmathbf{B}_{mathbf{P}_1mathbf{P}_2ldotsmathbf{P}_n}(t)$

用平常话来说，阶贝塞尔曲线之间的插值。

一些关于参数曲线的术语，有

$mathbf{B}(t) = sum_{i=0}^n mathbf{P}_imathbf{b}_{i,n}(t),quad tin[0,1]$

即多项式

$mathbf{b}_{i,n}(t) = {nchoose i} t^i (1-t)^{n-i},quad i=0,ldots n$

又称作 n 阶的伯恩斯坦基底多项式，定义
0⁰ = 1。

点 P _i称作贝塞尔曲线的控制点 。多边形以带有线的贝塞尔点连接而成，起始于 P ₀ 并以 P _n终止，称作贝塞尔多边形 （或控制多边形 ）。贝塞尔多边形的凸包（convex
hull）包含有贝塞尔曲线。

线性贝塞尔曲线函数中的 t 会经过由 P ₀ 至P ₁ 的 B (t ) 所描述的曲线。例如当 t=0.25 时，B (t) 即一条由点 P ₀ 至 P ₁ 路径的四分之一处。就像由
0 至 1 的连续 t ，B (t ) 描述一条由 P ₀ 至P ₁ 的直线。

为建构二次贝塞尔曲线，可以中介点 Q ₀ 和 Q ₁ 作为由 0 至 1 的 t ：

由 P ₀ 至 P ₁ 的连续点 Q ₀ ，描述一条线性贝塞尔曲线。
由 P ₁ 至 P ₂ 的连续点 Q ₁ ，描述一条线性贝塞尔曲线。
由 Q ₀ 至 Q ₁ 的连续点 B (t )，描述一条二次贝塞尔曲线。

为建构高阶曲线，便需要相应更多的中介点。对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q ₀ 、Q ₁ 、Q ₂ ，和由二次曲线描述的点 R ₀ 、R ₁ 所建构：

对于四次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q ₀ 、Q ₁ 、Q ₂ 、Q ₃ ，由二次贝塞尔曲线描述的点 R ₀ 、R ₁ 、R ₂ ，和由三次贝塞尔曲线描述的点 S ₀ 、S ₁ 所建构：

P(t)=(1-t)P₀ +tP₁ , 。
矩阵表示为：
　　，。
P(t)=(1-t)² P₀ +2t(1-t)P₁ +t² P₂ , 。
矩阵表示为：
　　 Bezier曲线原理及实现代码（c++） - mappy - mappy 天下，。

　　P(t)=(1-t)³ P₀ +3t(1-t)² P₁ +3t² (1-t)P₂ +t³ P₃
矩阵表示为：
Bezier曲线原理及实现代码（c++） - mappy - mappy 天下，。
（6－3－2）
，。
在（6－3－2）式中，Mⁿ⁺¹ 是一个n＋1阶矩阵，称为n次Bezier矩阵。
（6－3－3）
。
其中，

利用（6－3－3）式，我们可以得到任意次Bezier矩阵的显式表示，例如4次和5次Bezier矩阵为：
Bezier曲线原理及实现代码（c++） - mappy - mappy 天下，

可以证明，n次Bezier矩阵还可以表示为递推的形式：
（6－3－4）

二、算法（c++）

工程目录是:Win32App
vc6.0

#include<windows.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>
#define NUM 10

LRESULT CALLBACK Winproc(HWND,UINT,WPARAM,LPARAM);
int WINAPI WinMain(HINSTANCE hInstance,HINSTANCE hPrevInstanc,LPSTR lpCmdLine,int nShowCmd)
{
    MSG msg;
    static TCHAR szClassName[] = TEXT(“::Bezier样条计算公式由法国雷诺汽车公司的工程师Pierm Bezier于六十年代提出”);
    HWND hwnd;
    WNDCLASS wc;
    wc.cbClsExtra =0;
    wc.cbWndExtra =0;
    wc.hbrBackground = (HBRUSH)GetStockObject(WHITE_BRUSH);
    wc.hCursor = LoadCursor(NULL,IDC_ARROW);
    wc.hIcon = LoadIcon(NULL,IDI_APPLICATION);
    wc.hInstance = hInstance;
    wc.lpfnWndProc = Winproc;
    wc.lpszClassName = szClassName;
    wc.lpszMenuName = NULL;
    wc.style = CS_HREDRAW|CS_VREDRAW;

    if(!RegisterClass(&wc))
    {
        MessageBox(NULL,TEXT(“注册失败”),TEXT(“警告框”),MB_ICONERROR);
        return 0;
    }
    hwnd = CreateWindow(szClassName,szClassName,
                        WS_OVERLAPPEDWINDOW,
                        CW_USEDEFAULT,CW_USEDEFAULT,
                        CW_USEDEFAULT,CW_USEDEFAULT,
                        NULL,NULL,hInstance,NULL);

ShowWindow(hwnd,SW_SHOWMAXIMIZED);
UpdateWindow(hwnd);

    while(GetMessage(&msg,NULL,0,0))
    {
        TranslateMessage(&msg);
        DispatchMessage(&msg);
    }
    return msg.wParam;
}

LRESULT CALLBACK Winproc(HWND hwnd,UINT message, WPARAM wparam,LPARAM lparam)
{
  PAINTSTRUCT ps;
  HDC hdc;
  static POINT pt[NUM];
  TEXTMETRIC tm;
  static int cxClient,cyClient;
  HPEN hpen;
  int i,j,k,n,t;

  switch(message)
  {
  case WM_CREATE:
      static int cxchar;
      hdc = GetDC(hwnd);
      GetTextMetrics(hdc,&tm);
      cxchar = tm.tmAveCharWidth;
      ReleaseDC(hwnd,hdc);

  case WM_SIZE:
       cxClient = LOWORD(lparam);
      cyClient = HIWORD(lparam);
      return 0;
  case WM_PAINT:
       hdc = GetDC(hwnd);
       srand(time(0));

       Rectangle(hdc,0,0,cxClient,cyClient);
      for(i=0; i<500; i++)
          {
            SelectObject(hdc,GetStockObject(WHITE_PEN));
            PolyBezier(hdc,pt,NUM);
            for(j=0; j<NUM; j++)
            {
                pt[j].x = rand()%cxClient;
                pt[j].y = rand()%cyClient;
            }
            hpen = CreatePen(PS_INSIDEFRAME,3,RGB(rand()%256,rand()%256,rand()%256));
             DeleteObject(SelectObject(hdc,hpen));
            PolyBezier(hdc,pt,NUM);
            for(k=0; k<50000000;k++);
          }
      for(i=0; i<100;i++)
      {
        Ellipse(hdc,rand()%cxClient,rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient);

Pie(hdc,j=rand()%cxClient,k=rand()%cyClient,n=rand()%cxClient,t=rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient) ;

      }
       if((n=(n+j)/2)>cxchar*20) n=cxchar*20;
        SetTextColor(hdc,RGB(rand()%256,rand()%256,rand()%256));
        TextOut(hdc,n/2,(t+k)/2,TEXT(“瑾以此向Pierm Bezier致敬!”),lstrlen(TEXT(“瑾以此向Pierm Bezier致敬!”)));
        ReleaseDC(hwnd,hdc);
          DeleteObject(hpen);
          ValidateRect(hwnd,NULL);
   return 0;

  case WM_DESTROY:
      PostQuitMessage(0);
      return 0;
  }
  return DefWindowProc(hwnd,message,wparam,lparam);
}

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